Вариант 8
№ 1
Для помещений, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк перенесите последовательность пяти цифр.
Помещения: кухня, прихожая, гостиная, спальня с лоджией, санузел с ванной.
Решение:
По описанию квартиры и расположению помещений на плане:
- кухня — 5;
- прихожая — 9;
- гостиная — 7;
- спальня с лоджией — 2;
- санузел с ванной — 1.
Записываем цифры в указанном в таблице порядке: 5, 9, 7, 2, 1.
Ответ: 79521.
№ 2
Для расчёта коммунальных платежей используется площадь квартиры без учёта площади лоджий. Найдите площадь квартиры, которая используется для расчёта коммунальных платежей. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение:
- Площадь прямоугольника, ограничивающего квартиру:
29 · 20 = 580 клеток. - Площадь треугольной части у диагональной стены:
5 · 5 : 2 = 12,5 клетки. - Площадь лоджии у спальни:
7 · 3 = 21 клетка. - Площадь лоджии у кухни:
7 · 7 − 5 · 5 : 2 = 49 − 12,5 = 36,5 клетки. - Площадь квартиры без лоджий:
580 − 12,5 − 21 − 36,5 = 510 клеток. - Площадь одной клетки:
0,4 · 0,4 = 0,16 м². - Площадь квартиры:
510 · 0,16 = 81,6 м².
Ответ: 81,6.
№ 3
Плитка для пола размером 20 × 20 см продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки необходимо купить, чтобы выложить пол обоих санузлов?
Решение:
Считаем количество клеток в первом санузле:
5 · 5 = 25 клеток.
Считаем количество клеток во втором санузле:
6 · 5 = 30 клеток.
Находим общее количество клеток:
25 + 30 = 55 клеток.
Находим площадь одной клетки. Сторона клетки равна 0,4 м:
0,4 · 0,4 = 0,16 м².
Находим общую площадь санузлов:
55 · 0,16 = 8,8 м².
Находим площадь одной плитки. Размер плитки — 20 × 20 см, то есть 0,2 × 0,2 м:
0,2 · 0,2 = 0,04 м².
Вычисляем необходимое количество плиток:
8,8 : 0,04 = 220 плиток.
В одной упаковке 5 плиток. Находим количество упаковок:
220 : 5 = 44 упаковки.
№ 4
На сколько процентов площадь лоджии, примыкающей к кухне, больше площади лоджии, примыкающей к спальне? Ответ округлите до целого.
Решение:
- Находим площадь лоджии, примыкающей к кухне. Она занимает квадрат размером 7 × 7 клеток за вычетом треугольника с катетами по 5 клеток:
7 · 7 − 5 · 5 : 2 = 49 − 12,5 = 36,5 клетки. - Находим площадь лоджии, примыкающей к спальне. Она занимает прямоугольник размером 7 × 3 клетки:
7 · 3 = 21 клетка. - Находим, на сколько клеток площадь лоджии у кухни больше:
36,5 − 21 = 15,5 клетки. - Вычисляем, на сколько процентов площадь лоджии у кухни больше площади лоджии у спальни:
15,5 : 21 · 100% ≈ 73,81%. - Округляем до целого числа:
73,81% ≈ 74%.
Ответ: 74.
Ответ: 38.
№ 5
В квартире планируется заменить электрическую плиту. Характеристики электроплит, условия подключения и доставки приведены в таблице. Планируется купить электрическую плиту глубиной меньше 55 см с максимальной температурой больше 260 °C.
Сколько рублей будет стоить наиболее дешёвый подходящий вариант вместе с подключением и доставкой?
Решение:
Проверим модели, которые подходят по обоим условиям.
Модель А: температура 250 °C — не подходит.
Модель Б: глубина 54 см, температура 300 °C — подходит.
Модель Д: глубина 45 см, температура 275 °C — подходит.
Остальные модели не подходят по глубине или температуре.
Рассчитаем полную стоимость модели Б:
- плита — 15 800 рублей;
- подключение — 1750 рублей;
- доставка — 10% стоимости плиты.
Стоимость доставки:
15 800 · 0,1 = 1580 рублей.
Полная стоимость:
15 800 + 1750 + 1580 = 19 130 рублей.
Для сравнения модель Д стоит:
17 350 + 2200 = 19 550 рублей.
Следовательно, дешевле модель Б.
Ответ: 19130.
№ 6
Найдите значение выражения 3,9 − 15 : (−2,4).
Решение:
Сначала выполняем деление:
15 : (−2,4) = −6,25.
Тогда:
3,9 − (−6,25) = 3,9 + 6,25 = 10,15.
Ответ: 10,15.
№ 7
Одно из чисел 29/9, 34/9, 38/9 и 43/9 отмечено на числовой прямой точкой A.
Какое это число?
Варианты ответа:
- 29/9
- 34/9
- 38/9
- 43/9
Решение:
Разделим числители на 9:
29/9 ≈ 3,22;
34/9 ≈ 3,78;
38/9 ≈ 4,22;
43/9 ≈ 4,78.
По расположению точки A на числовой прямой ей соответствует число 29/9.
Ответ: 1.
№ 8
Найдите значение выражения p⁻¹⁵ : (p³)⁻⁶ при p = 5.
Решение:
Используем правило возведения степени в степень:
(p³)⁻⁶ = p⁻¹⁸.
Тогда:
p⁻¹⁵ : p⁻¹⁸ = p⁻¹⁵⁻⁽⁻¹⁸⁾ = p³.
Подставим p = 5:
5³ = 125.
Ответ: 125.
№ 9
Решите уравнение x² + 17x + 42 = 0.
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение:
Разложим левую часть на множители:
x² + 17x + 42 = 0;
(x + 3)(x + 14) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
x + 3 = 0, откуда x = −3;
x + 14 = 0, откуда x = −14.
Меньший корень — −14.
Ответ: −14.
№ 10
При подготовке к экзамену Митя выучил 34 билета, а 6 билетов не выучил. Найдите вероятность того, что ему попадётся билет, который он не выучил.
Решение:
Всего билетов:
34 + 6 = 40.
Вероятность получить невыученный билет равна отношению числа невыученных билетов к общему количеству билетов:
P = 6/40 = 0,15.
Ответ: 0,15.
№ 11
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
А) y = 2x² + 4x − 2
Б) y = −2x² − 4x + 2
В) y = 2x² − 4x − 2
Графики: 1), 2), 3).
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение:
А) y = 2x² + 4x − 2.
Ветви параболы направлены вверх, поскольку коэффициент при x² положительный.
Координата вершины по оси x:
x₀ = −4/(2 · 2) = −1.
График имеет вершину слева от оси y. Это график 2.
Б) y = −2x² − 4x + 2.
Ветви параболы направлены вниз, поскольку коэффициент при x² отрицательный.
Вершина находится при x = −1. Это график 1.
В) y = 2x² − 4x − 2.
Ветви параболы направлены вверх.
Координата вершины:
x₀ = −(−4)/(2 · 2) = 1.
Вершина находится справа от оси y. Это график 3.
Следовательно, А — 2, Б — 1, В — 3.
Ответ: 213.
№ 12
Второй закон Ньютона можно записать в виде F = ma, где F — сила (в ньютонах), действующая на тело, m — его масса (в килограммах), a — ускорение (в м/с²), с которым движется тело. Найдите m (в килограммах), если F = 162 Н и a = 36 м/с².
Решение:
Из формулы F = ma выразим массу:
m = F/a.
Подставим значения:
m = 162/36 = 4,5 кг.
Ответ: 4,5.
№ 13
Укажите решение неравенства 3 − x ≥ x + 8.
- (−∞; −2,5]
- [−2,5; +∞)
- любое число
- нет решений
Решение:
Перенесём неизвестные в левую часть, числа — в правую:
3 − x ≥ x + 8;
−2x ≥ 5.
Разделим обе части на −2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
x ≤ −2,5.
Этому решению соответствует вариант 1.
Ответ: 1.
№ 14
В кафе есть только квадратные столики, за каждый из которых могут сесть 4 человека. Если сдвинуть два квадратных столика, то получится стол, за который могут сесть 6 человек. На рисунке изображён случай, когда сдвинули 3 квадратных столика вдоль одной линии. В этом случае получился стол, за который могут сесть 8 человек. Сколько человек может сесть за стол, который получится, если сдвинуть 25 квадратных столиков вдоль одной линии?
Решение:
За один столик могут сесть 4 человека.
При соединении столиков вдоль одной линии места соприкосновения не используются для посадки, поэтому каждый следующий столик добавляет 2 места.
Для 25 столиков:
4 + 2 · (25 − 1) = 4 + 48 = 52.
Ответ: 52.
№ 15
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 42, MN = 20. Площадь треугольника MBN равна 120. Найдите площадь треугольника ABC.
Решение:
Поскольку MN параллельна AC, треугольники MBN и ABC подобны.
Коэффициент подобия:
MN/AC = 20/42 = 10/21.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
S_MBN/S_ABC = (10/21)² = 100/441.
Подставим площадь малого треугольника:
120/S_ABC = 100/441.
Отсюда:
S_ABC = 120 · 441/100 = 529,2.
Ответ: 529,2.
№ 16
Условие:
Угол B четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 82°. Найдите угол D этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Поэтому:
∠B + ∠D = 180°.
∠D = 180° − 82° = 98°.
Ответ: 98.
№ 17
В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 56°. Диагональ AC образует со стороной CD угол 82°. Найдите угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Рассмотрим треугольник ACD.
Из условия:
∠ADC = 56°,
∠ACD = 82°.
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:
∠CAD = 180° − 56° − 82° = 42°.
Так как основания AD и BC параллельны, угол между диагональю AC и основанием BC равен углу CAD.
Следовательно, искомый угол равен 42°.
Ответ: 42.
№ 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AC.
Решение:
По рисунку сторона AC образует прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 клеток.
По теореме Пифагора:
AC = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13.
Средняя линия треугольника, параллельная стороне AC, равна половине этой стороны:
13/2 = 6,5.
Ответ: 6,5.
№ 19
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Все высоты равностороннего треугольника равны.
- Средняя линия трапеции параллельна её основаниям.
- Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
- Верно. В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны, поэтому все высоты также равны.
- Верно. Средняя линия трапеции по свойству параллельна обоим основаниям.
- Неверно. У тупоугольного треугольника центр описанной окружности находится вне треугольника.
Истинны утверждения 1 и 2.
Ответ: 12.
