Вариант 4
ЧАСТЬ 1
№1
Найдите высоту теплицы PQ в метрах.
Решение:
Ширина теплицы:
AD = 3 м.
Высота нижнего яруса в 2,5 раза меньше ширины:
3 : 2,5 = 1,2 м.
Верхний ярус имеет форму полуокружности с диаметром 3 м.
Радиус полуокружности:
3 : 2 = 1,5 м.
Высота всей теплицы:
PQ = 1,2 + 1,5 = 2,7 м.
Ответ: 2,7.
№2
Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 6 штук?
Ширина дорожки:
50 см = 0,5 м.
Площадь двух продольных дорожек:
2 · 7 · 0,5 = 7 м².
Площадь дорожки при входе:
3 · 0,5 = 1,5 м².
Два места пересечения дорожек были посчитаны дважды:
2 · 0,5 · 0,5 = 0,5 м².
Площадь всех дорожек:
7 + 1,5 — 0,5 = 8 м².
Площадь одной плитки:
0,25 · 0,25 = 0,0625 м².
Количество плиток:
8 : 0,0625 = 128.
Количество упаковок:
128 : 6 = 21 1/3.
Значит, нужно купить 22 упаковки.
Ответ: 22.
№3
Найдите ширину узкой грядки, если она на 25 % меньше ширины центральной грядки. Ответ дайте в сантиметрах.
Пусть ширина центральной грядки равна x см.
Тогда ширина каждой узкой грядки:
x — 0,25x = 0,75x.
Общая ширина теплицы равна 300 см.
Две дорожки имеют ширину по 50 см:
0,75x + x + 0,75x + 50 + 50 = 300.
2,5x = 200.
x = 80.
Ширина узкой грядки:
0,75 · 80 = 60 см.
Ответ: 60.
№4
Найдите длину металлической дуги для верхнего яруса теплицы. Ответ дайте в метрах, округлив его в большую сторону с точностью до десятых.
Дуга является полуокружностью диаметром 3 м.
Радиус:
r = 3 : 2 = 1,5 м.
Длина полуокружности:
L = πr = 1,5π ≈ 4,71 м.
Округляем в большую сторону до десятых:
L = 4,8 м.
Ответ: 4,8.
№5
Найдите высоту EF входа в теплицу в метрах с точностью до десятых.
Отрезок AD равен 3 м, а точки E, P и N делят его на четыре равные части.
Поэтому:
AE = EP = PN = ND = 3 : 4 = 0,75 м.
Ширина входа:
EN = EP + PN = 0,75 + 0,75 = 1,5 м.
Радиус верхней полуокружности:
r = 1,5 м.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна 1,5 м, а один катет равен 0,75 м.
Высота арочной части:
h = √(1,5² — 0,75²)
h = √(2,25 — 0,5625)
h = √1,6875 ≈ 1,3 м.
Высота нижнего яруса равна:
3 : 2,5 = 1,2 м.
Следовательно:
EF = 1,2 + 1,3 = 2,5 м.
Ответ: 2,5.
№6
Найдите значение выражения (3·10^-3)^2·(12·10^5).
(3·10^-3)^2·(12·10^5) = 9·10^-6·12·10^5 = 108·10^(-1) = 10,8.
Ответ: 10,8.
№7
Какое из чисел 67/6, 77/6, 87/6 и 97/6 принадлежит отрезку [12; 13]?
67/6 = 11 1/6, поэтому число меньше 12.
77/6 = 12 5/6, поэтому число принадлежит отрезку [12; 13].
87/6 = 14 1/2, поэтому число больше 13.
97/6 > 13.
Подходит только второе число.
Ответ: 2.
№8
Найдите значение выражения √(81a^8b^2) при a = 3 и b = 5.
Подставим значения:
√(81 · 3^8 · 5^2) = 9 · 3^4 · 5 = 9 · 81 · 5 = 3645.
Ответ: 3645.
№9
Найдите корень уравнения (x + 9)^2 = (x — 36)^2.
(x + 9)^2 — (x — 36)^2 = 0.
По формуле разности квадратов:
((x + 9) — (x — 36)) · ((x + 9) + (x — 36)) = 0.
45(2x — 27) = 0.
2x — 27 = 0.
x = 13,5.
Ответ: 13,5.
№10
На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 6 с мясом, 10 с капустой и 9 с вишней. Петя наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.
Всего пирожков:
6 + 10 + 9 = 25.
Благоприятных исходов — 6.
Вероятность:
6/25 = 0,24.
Ответ: 0,24.
№11
На рисунках изображены графики функций вида y = ax² + bx + c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
А) a < 0, c > 0.
Ветви параболы направлены вниз, а график пересекает ось Oy выше оси Ox.
Это график 1.
Б) a > 0, c > 0.
Ветви параболы направлены вверх, а график пересекает ось Oy выше оси Ox.
Это график 3.
В) a < 0, c < 0.
Ветви параболы направлены вниз, а график пересекает ось Oy ниже оси Ox.
Это график 2.
Ответ: 132.
№12
Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле W = CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в Ф), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью 4·10^-5 Ф, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 15 В.
W = CU²/2.
Подставим значения:
W = (4·10^-5 · 15²) / 2
= (4·10^-5 · 225) / 2
= 900·10^-5 / 2
= 450·10^-5
= 0,0045.
Ответ: 0,0045.
№13
Укажите решение неравенства x² ≤ 4x.
Решение:
Перенесём всё в левую часть:
x² — 4x ≤ 0.
Разложим на множители:
x(x — 4) ≤ 0.
Найдём нули:
x = 0;
x — 4 = 0, значит x = 4.
Метод интервалов:
(-∞; 0) — знак «+»;
(0; 4) — знак «-»;
(4; +∞) — знак «+».
Так как нам нужны значения, при которых произведение меньше или равно нулю, получаем:
x ∈ [0; 4].
Это вариант 3.
Ответ: 3.
№14
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 85.
По условию и рисунку длины звеньев идут парами:
1, 1; 2, 2; 3, 3; …; 85, 85.
Поэтому длина ломаной:
L = 2(1 + 2 + 3 + … + 85).
Сумма первых 85 натуральных чисел по формуле арифметической прогрессии:
(1 + 85) · 85 / 2 = 3655.
Тогда:
L = 2 · 3655 = 7310.
Ответ: 7310.
№15
Косинус острого угла A треугольника ABC равен 0,96. Найдите sin A.
Используем основное тригонометрическое тождество:
sin²A + cos²A = 1.
sin²A = 1 — 0,96².
sin²A = 1 — 0,9216 = 0,0784.
Так как угол A острый, sin A > 0.
sin A = √0,0784 = 0,28.
Ответ: 0,28.
№16
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠BAC = 28°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
Угол BAC — вписанный угол, который опирается на дугу BC.
Центральный угол BOC, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла:
∠BOC = 2∠BAC.
∠BOC = 2 · 28° = 56°.
Ответ: 56.
№17
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 13 и 19.
Площадь ромба вычисляется по формуле:
S = d1 · d2 / 2.
S = 13 · 19 / 2 = 247 / 2 = 123,5.
Ответ: 123,5.
№18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, проведённой к прямой, содержащей сторону AB.
Прямая AB вертикальная.
Высота из точки C к прямой AB должна быть перпендикулярна AB, то есть горизонтальна.
По рисунку от прямой AB до точки C — 5 клеток.
Размер одной клетки равен 1.
Следовательно:
h = 5 · 1 = 5.
Ответ: 5.
№19
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Любые два диаметра окружности пересекаются.
- Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
- Диагонали ромба перпендикулярны.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
- Любые два диаметра окружности проходят через её центр, поэтому они пересекаются. Утверждение верно.
- Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
S1/S2 = k².
Поэтому утверждение неверно.
- Диагонали ромба перпендикулярны. Утверждение верно.
Верны утверждения 1 и 3.
Ответ: 13.
Часть 2
№20
Решите уравнение (x² − 64)² + (x² + 6x − 16)² = 0.
Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
x² − 64 = 0 и x² + 6x − 16 = 0.
- Решим первое уравнение:
x² − 64 = 0
x² = 64
x = ±8.
- Решим второе уравнение:
x² + 6x − 16 = 0.
Разложим на множители:
(x + 8)(x − 2) = 0.
Отсюда:
x = −8 или x = 2.
Но оба уравнения должны выполняться одновременно.
Общие корни:
из первого уравнения: −8 и 8;
из второго уравнения: −8 и 2.
Общий корень только один:
x = −8.
Ответ: −8.
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько сухих фруктов получится из 70 кг свежих фруктов?
В свежих фруктах содержится:
100% − 79% = 21% сухого вещества.
Найдём массу сухого вещества в 70 кг свежих фруктов:
70 · 0,21 = 14,7 кг.
В высушенных фруктах содержится 16% воды, значит сухого вещества:
100% − 16% = 84%.
Пусть масса высушенных фруктов равна x кг.
Тогда:
0,84x = 14,7.
x = 14,7 : 0,84 = 17,5 кг.
Ответ: 17,5.
