№1
Борис Львович начал строить на дачном участке теплицу длиной 6 метров (DC на рис. 1). Для этого он сделал прямоугольный фундамент (рис. 2). Для каркаса теплицы нужно заказать металлические дуги в форме полуокружностей длиной 6 м каждая и нужно заказать покрытие для обтяжки теплицы. Отдельно требуется купить плёнку для передней и задней стенок теплицы. В передней стенке планируется вход, показанный на рис. 1 прямоугольником EFKN, где точки E, P и N делят отрезок AD на равные части. Внутри теплицы Борис Львович планирует сделать три грядки: одну широкую центральную и две одинаковые узкие по краям, как показано на рис. 2. Между грядками и при входе в теплицу будут дорожки шириной 40 см, для которых надо купить тротуарную плитку размером 20 × 20 см.
Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 80 см?
6 м = 600 см.
Если дуг n, промежутков между ними будет n − 1.
Составим неравенство:
(n − 1) · 80 ≥ 600
n − 1 ≥ 7,5
n ≥ 8,5
Минимальное целое значение:
Ответ: 9.
№2
Найдите ширину теплицы в метрах с точностью до десятых.
Длина полуокружности:
πR = 6
R = 6/π
Ширина теплицы — диаметр:
2R = 12/π ≈ 3,8 м
Ответ: 3,8 м.
№3
Сколько нужно купить упаковок плитки для дорожек, если в каждой упаковке 7 штук?
Ширина теплицы:
12/π ≈ 3,82 м.
Площадь двух продольных дорожек:
2 · 0,4 · 6 = 4,8 м².
Площадь дорожки у входа:
0,4 · 3,82 ≈ 1,53 м².
Общая площадь:
4,8 + 1,53 = 6,33 м².
Площадь одной плитки:
0,2 · 0,2 = 0,04 м².
Количество плиток:
6,33 : 0,04 ≈ 158,25.
Нужно купить 159 плиток.
В упаковке 7 плиток:
159 : 7 ≈ 22,7.
Значит, нужно 23 упаковки.
Ответ: 23.
№4
Найдите ширину центральной грядки, если она на 75 % больше ширины узкой грядки. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до целого.
Пусть ширина узкой грядки — x см.
Центральная грядка на 75% шире:
1,75x.
Всего три грядки и две дорожки по 40 см:
x + 1,75x + x + 40 + 40 = 12/π · 100
3,75x + 80 ≈ 381,97
3,75x ≈ 301,97
x ≈ 80,53.
Центральная грядка:
1,75 · 80,53 ≈ 140,93 см.
Округляем:
Ответ: 141 см.
№5
Найдите высоту EF входа в теплицу в метрах с точностью до десятых.
Точки E, P, N делят AD на четыре равные части.
Поэтому:
EN = AD/2 = R.
Так как E и N симметричны относительно середины AD, расстояние от центра полуокружности до E по горизонтали равно:
R/2.
Получаем прямоугольный треугольник:
EF² + (R/2)² = R².
Тогда:
EF = R√3/2.
R = 6/π.
EF = 3√3/π ≈ 1,65 м.
Ответ: 1,7 м.
№6
Найдите значение выражения (6·10^-2)^2·(8·10^3).
(6 · 10⁻²)² · (8 · 10³).
(6 · 10⁻²)² = 36 · 10⁻⁴.
Тогда:
36 · 10⁻⁴ · 8 · 10³ = 288 · 10⁻¹ = 28,8.
Ответ: 28,8.
№7
Какое из чисел 65/7, 75/7, 79/7 и 85/7 принадлежит отрезку [11;12]?
Проверяем числа:
65/7 ≈ 9,29
75/7 ≈ 10,71
79/7 ≈ 11,29
85/7 ≈ 12,14.
Отрезку [11;12] принадлежит только 79/7.
Ответ: 3.
№8
Найдите значение выражения √(64a²b⁶) при a=6 и b=2.
√(64a²b⁶) при a = 6, b = 2.
√(64 · 6² · 2⁶) = 8 · 6 · 2³ = 8 · 6 · 8 = 384.
Ответ: 384.
№9
Найдите корень уравнения (x−7)^2=(x+14)^2.
(x − 7)² = (x + 14)².
Разность квадратов:
[(x − 7) − (x + 14)] · [(x − 7) + (x + 14)] = 0
−21 · (2x + 7) = 0.
2x + 7 = 0
x = −3,5.
Ответ: −3,5.
№10
На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 7 с мясом, 8 с капустой и 5 с вишней. Петя наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с мясом.
Всего пирожков:
7 + 8 + 5 = 20.
С мясом — 7.
Вероятность:
P = 7/20 = 0,35.
Ответ: 0,35.
№11
На рисунках изображены графики функций вида y=ax²+bx+c. Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
- График 1: ветви направлены вниз → a < 0; пересекает ось Oy ниже нуля → c < 0. Это Б.
- График 2: ветви вниз → a < 0; пересечение с Oy выше нуля → c > 0. Это А.
- График 3: ветви вверх → a > 0; пересечение с Oy ниже нуля → c < 0. Это В.
Получаем:
А — 2
Б — 1
В — 3
Ответ: 213.
№12
Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле W=CU²/2, где C — ёмкость конденсатора (в Ф), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью 5·10^-5 Ф, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 В.
W = CU²/2.
C = 5 · 10⁻⁵ Ф, U = 12 В.
W = (5 · 10⁻⁵ · 12²)/2
= (5 · 10⁻⁵ · 144)/2
= 360 · 10⁻⁵
= 0,0036 Дж.
Ответ: 0,0036.
№14
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 95.
Длины звеньев идут парами:
1, 1, 2, 2, 3, 3, …, 95, 95.
Поэтому:
L = 2(1 + 2 + … + 95).
Сумма первых 95 натуральных чисел:
95 · 96 / 2.
Тогда:
L = 2 · 95 · 96 / 2
L = 95 · 96 = 9120.
Ответ: 9120.
№15
Синус острого угла A треугольника ABC равен √15/8. Найдите cos A.
sin A = √15/8.
Так как угол A острый:
sin²A + cos²A = 1.
cos²A = 1 − 15/64
= 49/64.
Так как A острый:
cos A = 7/8 =0,875
Ответ: 7/8 =0,875
№16
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠BAC=52°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
Треугольник равнобедренный:
AB = BC.
Следовательно, углы при основании равны:
∠BAC = ∠ACB = 52°.
Центральный угол ∠BOC и вписанный угол ∠BAC опираются на одну и ту же дугу BC.
Центральный угол в 2 раза больше вписанного:
∠BOC = 2 · 52° = 104°.
Ответ: 104°.
№17
Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 11 и 17.
Площадь ромба через диагонали:
S = d₁d₂/2.
S = 11 · 17 / 2
= 187/2
= 93,5.
Ответ: 93,5.
№18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, проведённой к прямой, содержащей сторону AB.
Высота треугольника к стороне AB равна расстоянию от точки C до прямой AB.
По клеткам это расстояние составляет 4 клетки.
Размер клетки 1 × 1, значит:
h = 4.
Ответ: 4.
№19
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
1) Если угол острый, смежный с ним угол также острый.
Неверно: смежные углы в сумме дают 180°, поэтому к острому углу смежный будет тупым.
2) Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.
Верно.
3) Все углы прямоугольника равны.
Верно: каждый равен 90°.
Ответ: 23.
№20
Решите уравнение
(x² − 16)² + (x² − 5x − 36)² = 0.
Сумма двух квадратов может быть равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю:
x² − 16 = 0
и
x² − 5x − 36 = 0.
1) Первое уравнение
x² − 16 = 0
(x − 4)(x + 4) = 0
x = 4 или x = −4.
2) Второе уравнение
x² − 5x − 36 = 0
(x − 9)(x + 4) = 0
x = 9 или x = −4.
Общий корень:
x = −4.
Ответ: −4.
№21
Свежие фрукты содержат 72% воды, высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 50 кг высушенных?
| Свежие | Высушенные | |
| Масса | x кг | 50 кг |
| Вода | 72 % | 23 % |
| Сухое вещество | 28 % | 77 % |
При сушке количество сухого вещества не изменяется.
В свежих фруктах:
0,28x.
В 50 кг высушенных:
0,77 · 50 = 38,5 кг.
Составляем уравнение:
0,28x = 38,5.
x = 38,5 / 0,28
x = 137,5.
Ответ: 137,5 кг.
