Вариант 2
№1
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.
- Кленовая — 2;
- Озёрки — 3;
- Луневка — 5;
- Усово — 1.
№2
На сколько процентов скорость, с которой едут Петя с дедушкой по грунтовой дороге, меньше их скорости по шоссе?
Скорость по шоссе — 20 км/ч.
Скорость по грунтовой дороге — 16 км/ч.
Разница:
20 − 16 = 4 км/ч.
На сколько процентов 4 меньше 20:
4/20 · 100% = 20%.
№3
Найдите расстояние от села Озёрки до станции Усово по прямой грунтовой дороге.
Кленовая — Озёрки = 18 км.
Кленовая — Усово = 24 км.
Дороги образуют прямой угол, поэтому получаем прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора:
OU² = 18² + 24²
OU² = 324 + 576 = 900
OU = √900 = 30 км.
Ответ: 30.
№4
Сколько минут затратят на дорогу Петя с дедушкой, если поедут на станцию через Озёрки и птицефабрику?
От Бурцево до Кленовой — 40 км.
От Кленовой до Озёрок — 18 км.
Значит:
40 − 18 = 22 км — от Бурцево до Озёрок.
От Озёрок до Усово по грунтовой дороге — 30 км.
Время по шоссе:
22/20 · 60 = 66 мин.
Время по грунтовой дороге:
30/16 · 60 = 112,5 мин.
Общее время:
66 + 112,5 = 178,5 мин.
Ответ: 178,5.
№5
Определите, на какой маршрут до станции потребуется больше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Петя с дедушкой, если поедут этим маршрутом.
Рассмотрим три маршрута.
1-й маршрут: через Кленовую
40 + 24 = 64 км.
Время:
64 / 20 · 60 = 192 мин.
2-й маршрут: через Озёрки и птицефабрику
Мы уже нашли:
178,5 мин.
3-й маршрут: через Луневку
Бурцево–Луневка = 15 км.
Найдём Луневка–Усово. Получается прямоугольный треугольник с катетами:
40 км и 24 − 15 = 9 км.
Тогда:
LU² = 40² + 9² = 1600 + 81 = 1681,
LU = 41 км.
Время:
15 / 20 · 60 = 45 мин,
41 / 16 · 60 = 153,75 мин.
Общее:
45 + 153,75 = 198,75 мин.
Это самое большое время.
Ответ: 198,75.
№6
Найдите значение выражения
3 2/15 : (5/18 − 1 7/12).
Преобразуем смешанные числа:
3 2/15 = 47/15,
1 7/12 = 19/12.
В скобках:
5/18 − 19/12 = 10/36 − 57/36 = −47/36.
Теперь:
47/15 : (−47/36) = 47/15 · (−36/47) = −36/15 = −12/5 = −2,4.
Ответ: −2,4.
№7
Между какими числами заключено число √180?
Проверим:
13² = 169,
14² = 196.
Так как
169 < 180 < 196,
то
13 < √180 < 14.
Ответ: 3.
№8
Найдите значение выражения
(5 · 6)⁵ / (5⁶ · 6⁴)
Раскрываем степень произведения:
(5 · 6)⁵ = 5⁵ · 6⁵.
Тогда:
5⁵ · 6⁵ / (5⁶ · 6⁴) = 6/5 = 1,2.
№9
Найдите корень уравнения
3 + 13x = 30 + 19x.
Переносим:
13x − 19x = 30 − 3
−6x = 27
x = −4,5.
Ответ: −4,5.
№10
В сборнике билетов по математике всего 50 билетов, в шести из них встречается вопрос по теме «Треугольники». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Треугольники».
Благоприятных исходов — 6.
Всего исходов — 50.
P = 6/50 = 3/25 = 0,12.
Ответ: 0,12.
№11
Установите соответствие между графиками функций и формулами.
Формулы:
- y = 2x — прямая с положительным углом наклона;
- y = x + 2 — прямая с положительным наклоном, пересекающая ось Oy в точке 2;
- y = −2x — прямая с отрицательным наклоном.
По графикам:
А — 1
Б — 3
В — 2
Ответ: 132.
№12
Условие:
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2. Найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 4, sinα = 5/7, S = 35.
Подставляем:
35 = 4 · d₂ · (5/7) / 2.
Умножаем на 2:
70 = 20d₂/7.
d₂ = 70 · 7 / 20 = 490/20 = 24,5.
Ответ: 24,5.
№13
Укажите решение системы неравенств
1 − x ≤ 9,5
x + 4 ≥ 0.
Первое неравенство:
1 − x ≤ 9,5
−x ≤ 8,5
x ≥ −8,5.
Второе:
x + 4 ≥ 0
x ≥ −4.
Пересечение:
x ≥ −4.
На числовой прямой:
○──────●════════>
−4
Ответ: 2.
№14
К концу 2017 года в городе проживало 120 500 человек. Каждый год число жителей возрастало на одну и ту же величину. В конце 2025 года проживало 124 900 человек. Какова была численность населения к концу 2020 года?
С 2017 по 2025 прошло:
2025 − 2017 = 8 лет.
Общее увеличение:
124 900 − 120 500 = 4 400.
Ежегодное увеличение:
4400 : 8 = 550 человек.
С 2017 по 2020 прошло 3 года:
550 · 3 = 1650.
120 500 + 1650 = 122 150.
Ответ: 122150.
№15
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 42, CM = 48. Найдите OC.
O — точка пересечения медиан.
Центроид делит медиану в отношении 2 : 1 от вершины.
Для медианы CM:
CO : OM = 2 : 1.
Вся медиана:
CM = 48.
Три части:
48 : 3 = 16.
CO — две части:
CO = 16 · 2 = 32.
Ответ: 32.
№16
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠ABM = 41°. Найдите угол BNM.
AB — диаметр.
∠AMB = 90°.
В треугольнике ABM:
∠MAB = 180° − 90° − 41° = 49°.
Углы ∠MAB и ∠BNM опираются на одну дугу BM.
Поэтому:
∠BNM = 49°.
Ответ: 49.
№17
Один из углов ромба равен 105°. Найдите угол между высотой и большей диагональю ромба.
Соседний угол:
180° − 105° = 75°.
Большая диагональ делит острый угол пополам:
75° : 2 = 37,5°.
Высота перпендикулярна стороне:
90° − 37,5° = 52,5°.
Ответ: 52,5.
№18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
По твоему рисунку:
- верхнее основание = 5 клеток;
- нижнее основание = 2 клетки;
- высота = 3 клетки.
S = (a + b)/2 · h.
Подставляем:
S = (5 + 2)/2 · 3
S = 7/2 · 3
S = 10,5.
Ответ: 10,5.
№19
Какое из следующих утверждений является истинным?
- Косинус острого угла любого прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему катету.
Неверно. Должно быть отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Через любую точку, лежащую вне окружности, всегда можно провести две касательные к этой окружности.
Верно.
- Все углы ромба всегда равны.
Неверно. Только у квадрата(он является ромбом) углы равны
Ответ: 2.
