Оля летом отдыхает с родителями в деревне Филимоново. Оля с c папой собираются съездить на машине в посёлок Светлый. Из Филимоново в Светлый можно проехать по прямой грунтовой лесной дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через село Круглое до деревни Белая, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Светлый. Есть и третий маршрут: в Круглом можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо птицефабрики прямо в Светлый. По шоссе Оля с папой едут со скоростью 68 км/ч, а по грунтовым дорогам — 51 км/ч. Расстояние по шоссе от Филимоново до Белой равно 75 км, от Круглого до Белой — 30 км, а от Светлого до Белой — 40 км.
Задание 1
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность четырёх цифр.
| Насел. пункты | д. Белая | с. Круглое | п. Светлый | д. Филимоново |
| Цифры | 2 | 3 | 1 | 4 |
Задание 2
На сколько процентов расстояние от Белой до Филимоново больше расстояния от Белой до Круглого?
Расстояние от Белой до Филимоново — 75 км.
Расстояние от Белой до Круглого — 30 км.
75 — 30 = 45 км
45 / 30 × 100% = 150%
Ответ: 150
Задание 3
Найдите расстояние от деревни Филимоново до посёлка Светлого по прямой. Ответ дайте в километрах.
Получаем прямоугольный треугольник с катетами 75 км и 40 км.
FS² = 75² + 40²
FS² = 5625 + 1600 = 7225
FS = √7225 = 85 км
Ответ: 85
Задание 4
Сколько минут затратят на дорогу Оля с папой, если поедут в посёлок Светлый по прямой грунтовой дороге от Филимоново до Светлого?
Расстояние — 85 км.
Скорость — 51 км/ч.
Время = 85 / 51 = 5/3 ч
5/3 × 60 = 100 мин
Ответ: 100
Задание 5
На грунтовых дорогах папина машина расходует 9,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Круглого до Светлого по шоссе через Белую и на путь по грунтовой дороге мимо птицефабрики ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км папина машина расходует на шоссе?
Расстояние по шоссе:
30 + 40 = 70 км
Расстояние по грунтовой дороге:
√(30² + 40²) = √2500 = 50 км
Расход на 50 км грунтовой дороги:
9,8 × 50 / 100 = 4,9 л
Пусть расход на шоссе — x л на 100 км.
70 × x / 100 = 4,9
x = 4,9 × 100 / 70 = 7
Ответ: 7
Задание 6
Найдите значение выражения 1 4/25 : (13/15 — 1 5/6).
Решение:
1 4/25 = 29/25
1 5/6 = 11/6
29/25 : (13/15 — 11/6)
13/15 — 11/6 = 26/30 — 55/30 = -29/30
29/25 : (-29/30) = 29/25 × 30/(-29)
= -30/25 = -6/5 = -1,2
Ответ: -1,2
Задание 7
Между какими числами заключено число √140?
- 135 и 145
- 3 и 4
- 65 и 75
- 11 и 12
11² = 121
12² = 144
121 < 140 < 144
Значит:
11 < √140 < 12
Подходит вариант 4.
Ответ: 4
Задание 8
Найдите значение выражения (2 × 3)⁶ / (2⁷ × 3⁴).
(2 × 3)⁶ = 2⁶ × 3⁶
(2⁶ × 3⁶) / (2⁷ × 3⁴) = 3² / 2
= 9/2 = 4,5
Ответ: 4,5
Задание 9
Найдите корень уравнения 20 + 11x = 61 + 16x.
20 + 11x = 61 + 16x
20 — 61 = 16x — 11x
-41 = 5x
x = -41/5
x = -8,2
Ответ: -8,2
Задание 10
В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в трёх из них встречается вопрос по теме «Прогрессия». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене
Всего билетов — 20.
Подходящих билетов — 3.
P = 3/20 = 0,15
Ответ: 0,15
Задание 11
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
- y = 3x
- y = x — 3
- y = -3x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение:
График А имеет отрицательный угловой коэффициент и проходит через начало координат:
y = -3x
Значит, А — 3.
График Б проходит через точку (0; -3) и имеет угловой коэффициент 1:
y = x — 3
Значит, Б — 2.
График В проходит через начало координат и имеет положительный угловой коэффициент 3:
y = 3x
Значит, В — 1.
Ответ: 321
Задание 12
Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = d₁d₂sinα / 2, где d₁ и d₂ — длины диагоналей четырёхугольника, α — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 25, sinα = 0,3, а S = 24.
S = d₁d₂sinα / 2
24 = 25 × d₂ × 0,3 / 2
48 = 25 × d₂ × 0,3
48 = 7,5d₂
d₂ = 48 / 7,5 = 6,4
Ответ: 6,4
Задание 13
Укажите решение системы неравенств
3 — x ≥ 5,
x + 3,2 ≤ 0.
Решим первое неравенство:
3 — x ≥ 5
-x ≥ 2
При умножении на -1 знак меняется:
x ≤ -2
На координатной прямой отмечаем точку -2 закрашенной, потому что -2 входит в решение:
←═══════●─────→
-2
Получили:
x ∈ (-∞; -2]
Теперь второе неравенство:
x + 3,2 ≤ 0
x ≤ -3,2
На координатной прямой:
←════════●────→
-3,2
Получили:
x ∈ (-∞; -3,2]
Находим пересечение
Нам нужно, чтобы оба неравенства выполнялись одновременно(ищем двойную штриховку)
На двух координатных прямых общее выделенное множество:
1) ←════════════●────→
-2
2) ←════════●───────→
-3,2
Общее:
←════════●────────→
-3,2
Следовательно:
x ≤ -3,2
или
x ∈ (-∞; -3,2]
На рисунке из задания этому соответствует вариант 3.
Задание 14
К концу 2010 года в городе проживало 67 800 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2025 года в городе проживало 74 100 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2018 года?
С 2010 по 2025 год прошло:
2025 — 2010 = 15 лет
Численность увеличилась на:
74100 — 67800 = 6300 человек
Ежегодное увеличение:
6300 / 15 = 420 человек
С 2010 по 2018 год прошло:
2018 — 2010 = 8 лет
Увеличение за 8 лет:
420 × 8 = 3360 человек
Численность в 2018 году:
67800 + 3360 = 71160 человек
Ответ: 71160
Задание 15
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, AN = 30, CM = 36. Найдите OM.
AN и CM — медианы треугольника.
Медианы пересекаются в центре тяжести O и делятся им в отношении 2 : 1, считая от вершины.
По медиане CM:
CO : OM = 2 : 1
CM = 36.
Значит:
OM = 36 / 3 = 12
Ответ: 12
Задание 16
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠ABM = 38°. Найдите угол BNM. Ответ дайте в градусах.
Угол ABM = 38° является вписанным углом и опирается на дугу AM.
Значит, дуга AM равна:
38 × 2 = 76°
Так как AB — диаметр, дуга AMB составляет 180°.
Дуга BM:
180 — 76 = 104°
Угол BNM опирается на дугу BM.
Поэтому:
∠BNM = 104 / 2 = 52°
Ответ: 52
Задание 17
Один из углов ромба равен 115°. Найдите угол между высотой и большей диагональю ромба. Ответ дайте в градусах.
Соседний угол ромба:
180 — 115 = 65°
Большая диагональ ромба делит острый угол пополам:
65 / 2 = 32,5°
Высота перпендикулярна стороне ромба, поэтому угол между высотой и большей диагональю:
90 — 32,5 = 57,5°
Ответ: 57,5
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
По рисунку длины оснований трапеции:
a = 6
b = 3
Высота:
h = 4
Площадь трапеции:
S = (a + b) × h / 2
S = (6 + 3) × 4 / 2
S = 9 × 4 / 2 = 18
Ответ: 18
Задание 19
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
- Две прямые, параллельные третьей прямой, всегда перпендикулярны.
- Площадь любого параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
- В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, поэтому сумма двух остальных углов равна 90°. Утверждение верное.
- Две прямые, параллельные одной и той же прямой, параллельны между собой, а не перпендикулярны. Утверждение неверное.
- Площадь параллелограмма не всегда равна половине произведения диагоналей. Утверждение неверное.
Ответ: 1
Задание 20
Решите неравенство
x² / (x — 25) ≤ x.
Задание 21
Из А в Б одновременно выехали два велосипедиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, большей скорости первого велосипедиста на 4,5 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 15 км/ч, в результате чего прибыл в Б одновременно с первым велосипедистом. Найдите скорость первого велосипедиста.
| Велосипедист | Скорость (V), км/ч | Расстояние (S), км | Время (t),ч |
| Первый | x | S | S/x |
| Второй, 1-я половина | x + 4,5 | S/2 | S/[2(x + 4,5)] |
| Второй, 2-я половина | 15 | S/2 | S/30 |
Пусть скорость первого велосипедиста равна x км/ч.
Пусть весь путь равен S км.
Время первого велосипедиста:
S / x
Время второго велосипедиста:
S/2 / (x + 4,5) + S/2 / 15
Так как велосипедисты приехали одновременно:
S / x = S / [2(x + 4,5)] + S / 30
Сократим на S:
1 / x = 1 / [2(x + 4,5)] + 1 / 30
Умножим на 30x(x + 4,5):
30(x + 4,5) = 15x + x(x + 4,5)
30x + 135 = 15x + x² + 4,5x
x² — 10,5x — 135 = 0
x = 18 или x = -7,5
Скорость не может быть отрицательной.
x = 18 км/ч
Ответ: 18
