Вариант 15
Часть 1
Задание 1
Условие:
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы А0, А1, А4 и А5.
Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр, соответствующих номерам листов, без пробелов, запятых и дополнительных символов.
Решение:
Формат А0 — самый большой лист. Его размеры: 1189 × 841 мм. Это лист № 3.
Формат А1 получается делением листа А0 пополам. Его размеры: 841 × 594 мм. Это лист № 4.
Формат А4 имеет размеры 297 × 210 мм. Это лист № 1.
Формат А5 имеет размеры 210 × 148 мм. Это лист № 2.
Записываем номера в порядке А0, А1, А4, А5: 3, 4, 1, 2.
Ответ: 3412.
Задание 2
Условие:
Сколько листов формата А6 получится из одного листа формата А4?
Решение:
При каждом делении листа пополам получается два листа следующего формата.
Из одного листа А4 получаются два листа А5.
Из каждого листа А5 получаются два листа А6.
Следовательно, из одного листа А4 получится 2 · 2 = 4 листа А6.
Ответ: 4.
Задание 3
Условие:
Найдите площадь листа формата А7. Ответ дайте в квадратных сантиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение:
Площадь листа А0 равна 1 кв. м, то есть 10 000 кв. см.
При переходе к следующему формату площадь листа уменьшается в два раза.
От А0 до А7 семь переходов: А0 → А1 → А2 → А3 → А4 → А5 → А6 → А7.
Площадь листа А7 равна 10 000 : 2⁷ = 10 000 : 128 = 78,125 кв. см.
Округляем до ближайшего числа, кратного 10. Получаем 80 кв. см.
Ответ: 80.
Задание 4
Условие:
Найдите длину листа бумаги формата А2. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 5.
Решение:
По таблице длина листа А0 равна 1189 мм, ширина — 841 мм.
Лист А1 получается делением А0 пополам параллельно меньшей стороне. Поэтому длина листа А1 равна 841 мм, а ширина — 1189 : 2 = 594,5 мм.
При следующем делении получаем лист А2. Его длина равна 594,5 мм.
Округляем 594,5 мм до ближайшего числа, кратного 5. Получаем 595 мм.
Ответ: 595.
Задание 5
Условие:
Размер (высота) типографского шрифта измеряется в пунктах. Один пункт равен 1/72 дюйма, то есть 0,3528 мм. Текст напечатан шрифтом высотой 10 пунктов на листе формата А6. Какой высоты нужен шрифт (в пунктах), чтобы текст был расположен на листе формата А3 таким же образом? Размер шрифта округляется до целого.
Решение:
При переходе от А6 к А5, затем к А4 и далее к А3 площадь листа увеличивается в два раза при каждом переходе.
Размеры листа при этом увеличиваются в √2 раза, то есть примерно в 1,414 раза.
От А6 до А3 три перехода: А6 → А5 → А4 → А3.
Поэтому размер шрифта нужно увеличить в √2 · √2 · √2 = 2√2 раза.
Получаем 10 · 2√2 ≈ 28,28 пункта.
Округляем до целого числа.
Ответ: 28.
Задание 6
Условие:
Найдите значение выражения 1,6 / (1/9 − 1).
Решение:
Сначала вычислим знаменатель: 1/9 − 1 = 1/9 − 9/9 = −8/9.
Получаем деление 1,6 на −8/9.
Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: 1,6 · (−9/8).
Так как 1,6 : 8 = 0,2, получаем −0,2 · 9 = −1,8.
Ответ: −1,8.
Задание 7
Условие:
На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам −0,05; −0,35, 0,07; −0,89.
Какой точке соответствует число −0,05?
- A
- B
- C
- D
Решение:
Расположим числа по возрастанию:
−0,89 < −0,35 < −0,05 < 0,07.
На координатной прямой числа увеличиваются слева направо.
Значит, точке A соответствует −0,89, точке B — −0,35, точке C — −0,05, точке D — 0,07.
Точка C указана под номером 3.
Ответ: 3.
Задание 8
Условие:
Найдите значение выражения (√150 − √6) · √6.
Решение:
Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое на √6.
Получаем √150 · √6 − √6 · √6.
Перемножаем подкоренные выражения: √900 − 6 = 30 − 6 = 24.
Ответ: 24.
Задание 9
Условие:
Решите уравнение 36 − x² = 0.
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Решение:
Перенесём x² в правую часть: 36 = x².
Значит, x² = 36.
Число 6 в квадрате равно 36. Число −6 в квадрате также равно 36.
Корни уравнения: −6 и 6. Больший корень — 6.
Ответ: 6.
Задание 10
Условие:
В девятом классе учатся 9 мальчиков и 11 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет мальчик?
Решение:
Всего в классе 9 + 11 = 20 учеников.
Благоприятных исходов 9, потому что дежурным должен стать мальчик.
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех равновозможных исходов: 9/20 = 0,45.
Ответ: 0,45.
Задание 11
Условие:
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
А)
Б)
В)
ФОРМУЛЫ
- y = 1/(4x)
- y = 4/x
- y = −4/x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение:
График А расположен в первой и третьей координатных четвертях. Значит, коэффициент в формуле обратной пропорциональности положительный. Ветви расположены близко к осям координат, поэтому подходит формула y = 1/(4x), номер 1.
График Б также расположен в первой и третьей координатных четвертях, но его ветви находятся дальше от осей координат. Поэтому подходит формула y = 4/x, номер 2.
График В расположен во второй и четвёртой координатных четвертях. Значит, коэффициент отрицательный. Подходит формула y = −4/x, номер 3.
Ответ: 123.
Задание 12
Условие:
Кинетическая энергия тела E (в джоулях) вычисляется по формуле E = mv²/2, где m — масса тела (в килограммах), а v — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите скорость автомобиля массой 1500 кг, если известно, что его кинетическая энергия равна 192 тысячи джоулей. Ответ дайте в метрах в секунду.
Решение:
Масса автомобиля равна 1500 кг, кинетическая энергия — 192 000 Дж.
По формуле кинетической энергии скорость в квадрате равна удвоенной энергии, делённой на массу.
Вычисляем: 2 · 192 000 : 1500 = 384 000 : 1500 = 256.
Значит, квадрат скорости равен 256. Скорость равна √256 = 16 м/с.
Ответ: 16.
Задание 13
Условие:
Укажите решение неравенства 5 − 7x > 8x + 11.
- (−∞; −0,4)
- (6; +∞)
- (−0,4; +∞)
- (−∞; 6)
Решение:
Перенесём слагаемые с x в левую часть, а числа — в правую:
5 − 7x > 8x + 11.
−7x − 8x > 11 − 5.
−15x > 6.
Делим обе части неравенства на −15. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Получаем x < −6/15, то есть x < −0,4.
Подходит промежуток от минус бесконечности до −0,4, не включая −0,4.
Ответ: 1.
Задание 14
Условие:
На высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 2625 м над уровнем моря.
Решение:
Найдём разницу высот: 2625 − 2205 = 420 м.
При подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается на 1 мм рт. ст.
Количество таких промежутков: 420 : 10,5 = 40.
Значит, давление уменьшится на 40 мм рт. ст.
Искомое давление: 550 − 40 = 510 мм рт. ст.
Ответ: 510.
Задание 15
Условие:
В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 26, AC = 24. Найдите CM.
Решение:
Треугольник ABC прямоугольный, а AB — его гипотенуза.
М — середина гипотенузы AB.
По свойству прямоугольного треугольника медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Следовательно, CM = AB : 2 = 26 : 2 = 13.
Ответ: 13.
Задание 16
Условие:
На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 21°. Длина меньшей дуги AB равна 35. Найдите длину большей дуги AB.
Решение:
Вся окружность соответствует центральному углу 360°.
Меньшей дуге соответствует угол 21°, а большей — 360° − 21° = 339°.
Длины дуг относятся так же, как соответствующие центральные углы.
Обозначим длину большей дуги через x.
Тогда x/35 = 339/21.
Отсюда x = 35 · 339/21 = 5 · 339/3 = 565.
Ответ: 565.
Задание 17
Условие:
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.
По рисунку верхнее основание состоит из двух отрезков длиной 5 и 4. Поэтому длина основания равна 5 + 4 = 9.
Боковая сторона равна 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник справа: его гипотенуза равна 5, а горизонтальный катет равен 4.
По теореме Пифагора высота равна √(5² − 4²) = √(25 − 16) = √9 = 3.
Площадь параллелограмма равна 9 · 3 = 27.
Ответ: 27.
Задание 18
Условие:
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение:
Отрезок AB вертикальный, поэтому его длину можно определить по количеству клеток между точками A и B.
По рисунку точка A находится на горизонтальной линии, расположенной на одну клетку ниже верхней вершины отрезка, а точка B — на две клетки ниже точки A.
Следовательно, длина AB равна 1,5 единицы.
Ответ: 1,5.
Задание 19
Условие:
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
- Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.
- Каждая из биссектрис любого равнобедренного треугольника является его высотой.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Решение:
Первое утверждение верно: диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Второе утверждение неверно: через одну точку можно провести бесконечно много прямых.
Третье утверждение неверно: в равнобедренном треугольнике высотой является биссектриса угла при вершине, но не обязательно биссектрисы углов при основании.
Ответ: 1.
Часть 2.
Условия заданий 20–25 дословно
Задание 20
Решите систему уравнений
x² + y² = 40,
xy = −12.
Из второго уравнения следует, что произведение x и y отрицательно. Значит, числа x и y имеют разные знаки.
Возведём второе уравнение в квадрат:
x²y² = 144.
Обозначим x² через a, а y² через b. Тогда:
a + b = 40,
ab = 144.
Найдём числа a и b. Их сумма равна 40, а произведение — 144.
Подходят числа 4 и 36, поскольку 4 + 36 = 40 и 4 · 36 = 144.
Следовательно, x² = 4, y² = 36 или x² = 36, y² = 4.
В первом случае x = ±2, y = ±6. Во втором случае x = ±6, y = ±2.
Поскольку произведение xy должно быть отрицательным, числа x и y должны иметь противоположные знаки.
Получаем четыре решения:
x = 2, y = −6;
x = −2, y = 6;
x = 6, y = −2;
x = −6, y = 2.
Ответ: (2; −6), (−2; 6), (6; −2), (−6; 2).
Задание 21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 160 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 26 часов после отплытия из него.
Пусть x км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде.
Скорость течения реки равна 2 км/ч.
Тогда скорость теплохода по течению равна (x + 2) км/ч, а скорость против течения — (x − 2) км/ч.
ОДЗ: x − 2 > 0, поэтому x > 2. Знаменатели в уравнении времени также должны быть отличны от нуля.
Время движения по течению равно 160/(x + 2) часов.
Время движения против течения равно 160/(x − 2) часов.
Общее время с учётом стоянки составляет 26 часов. Стоянка длится 8 часов, поэтому на движение ушло 26 − 8 = 18 часов.
Составим уравнение:
160/(x + 2) + 160/(x − 2) = 18.
Умножим обе части на (x + 2)(x − 2):
160(x − 2) + 160(x + 2) = 18(x² − 4).
Раскроем скобки:
160x − 320 + 160x + 320 = 18x² − 72.
320x = 18x² − 72.
Перенесём все слагаемые в одну сторону:
18x² − 320x − 72 = 0.
Разделим уравнение на 2:
9x² − 160x − 36 = 0.
Найдём дискриминант:
D = (−160)² − 4 · 9 · (−36) = 25 600 + 1296 = 26 896.
√D = 164.
Тогда
x = (160 ± 164)/18.
Получаем два корня:
x₁ = 324/18 = 18;
x₂ = −4/18 = −2/9.
По ОДЗ x > 2, поэтому отрицательный корень не подходит.
Ответ: 18 км/ч.
