Вариант 14
Часть 1
№ 1
Условие:
Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты.
Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
- Деревня Заулки обозначена цифрой 3.
- Деревня Орловка обозначена цифрой 2.
- Село Белое обозначено цифрой 4.
Записываем цифры в порядке, указанном в таблице: Заулки, Орловка, Белое.
Ответ: 324.
№ 2
Условие:
Найдите расстояние от деревни Орловка до села Белое по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение:
По плану расстояние по горизонтали составляет 16 км, а по вертикали — 30 км.
Прямая дорога является гипотенузой прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора:
16 · 16 + 30 · 30 = 256 + 900 = 1156.
Квадратный корень из 1156 равен 34.
Ответ: 34.
№ 3
Условие:
Сколько минут затратят Маша с дедушкой на дорогу из деревни Вешки в село Белое, если поедут по шоссе до деревни Орловка, а потом свернут на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо пруда?
Решение:
Расстояние от Вешек до Орловки по шоссе составляет 24 км. Скорость по шоссе — 50 км/ч.
Время движения по шоссе:
24 : 50 = 0,48 часа.
Переведём в минуты:
0,48 · 60 = 28,8 минуты.
Расстояние от Орловки до Белого по грунтовой дороге — 34 км. Скорость по грунтовой дороге — 40 км/ч.
Время движения по грунтовой дороге:
34 : 40 = 0,85 часа.
Переведём в минуты:
0,85 · 60 = 51 минута.
Найдём общее время:
28,8 + 51 = 79,8 минуты.
Ответ: 79,8.
№ 4
Условие:
На сколько процентов расстояние от деревни Вешки до села Белое через деревню Заулки больше расстояния между этими пунктами по прямой?
Решение:
По шоссе через Заулки нужно проехать:
40 + 30 = 70 км.
Расстояние от Вешек до Белого по прямой найдём по теореме Пифагора:
40 · 40 + 30 · 30 = 1600 + 900 = 2500.
Квадратный корень из 2500 равен 50 км.
Найдём, на сколько километров путь через Заулки длиннее прямого:
70 − 50 = 20 км.
Вычислим, сколько процентов составляет разница от прямого расстояния:
20 : 50 · 100 = 40%.
Ответ: 40.
№ 5
Условие:
В таблице указана стоимость (в рублях) некоторых продуктов в четырёх магазинах, расположенных в селе Белое и в деревнях Вешки, Орловка и Заулки.
Маша с дедушкой хотят купить 4 л молока, 2 кг сыра «Сливочный» и 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего? В ответ запишите стоимость данного набора в этом магазине.
Решение:
Вычислим стоимость покупки в каждом магазине.
Деревня Вешки:
Молоко: 85 · 4 = 340 рублей.
Сыр: 600 · 2 = 1200 рублей.
Картофель: 85 · 4 = 340 рублей.
Общая стоимость: 340 + 1200 + 340 = 1880 рублей.
Село Белое:
Молоко: 80 · 4 = 320 рублей.
Сыр: 550 · 2 = 1100 рублей.
Картофель: 75 · 4 = 300 рублей.
Общая стоимость: 320 + 1100 + 300 = 1720 рублей.
Деревня Орловка:
Молоко: 90 · 4 = 360 рублей.
Сыр: 500 · 2 = 1000 рублей.
Картофель: 90 · 4 = 360 рублей.
Общая стоимость: 360 + 1000 + 360 = 1720 рублей.
Деревня Заулки:
Молоко: 75 · 4 = 300 рублей.
Сыр: 520 · 2 = 1040 рублей.
Картофель: 80 · 4 = 320 рублей.
Общая стоимость: 300 + 1040 + 320 = 1660 рублей.
Самая низкая стоимость — 1660 рублей.
Ответ: 1660.
№ 6
Условие:
Найдите значение выражения 6,7 − 12,2.
Решение:
Из меньшего числа вычитаем большее, поэтому результат будет отрицательным.
12,2 − 6,7 = 5,5.
Следовательно, 6,7 − 12,2 = −5,5.
Ответ: −5,5.
№ 7
Условие:
Какое из чисел 67/14, 76/14, 85/14 и 93/14 принадлежит отрезку [5;6]?
- 67/14
- 76/14
- 85/14
- 93/14
В ответе запишите номер выбранного числа.
Решение:
Представим границы отрезка в виде дробей со знаменателем 14.
5 = 70/14.
6 = 84/14.
Следовательно, подходящая дробь должна быть не меньше 70/14 и не больше 84/14.
Проверяем варианты:
67/14 меньше 70/14.
76/14 находится между 70/14 и 84/14.
85/14 больше 84/14.
93/14 больше 84/14.
Подходит второй вариант.
Ответ: 2.
№ 8
Условие:
Найдите значение выражения (m¹⁵ · (n³)⁶) / (m · n)¹⁶ при m = 2 и n = √7.
Решение:
Сначала упростим выражение.
Возводим степень в степень: (n³)⁶ = n¹⁸.
Раскрываем степень произведения: (m · n)¹⁶ = m¹⁶ · n¹⁶.
Получаем: m¹⁵ · n¹⁸ / (m¹⁶ · n¹⁶).
При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
m¹⁵ / m¹⁶ = 1/m.
n¹⁸ / n¹⁶ = n².
Таким образом, выражение равно n²/m.
Подставляем значения:
(√7)² / 2 = 7/2 = 3,5.
Ответ: 3,5.
№ 9
Условие:
Найдите корень уравнения 8 + 3(4 − x) = 2x + 7.
Решение:
Раскроем скобки:
8 + 12 − 3x = 2x + 7.
Сложим числа в левой части:
20 − 3x = 2x + 7.
Перенесём неизвестные в левую часть, а числа — в правую:
−3x − 2x = 7 − 20.
−5x = −13.
Разделим обе части на −5:
x = 13/5 = 2,6.
Ответ: 2,6.
№ 10
Условие:
В некотором случайном опыте случайное событие B имеет вероятность 0,37. Найдите вероятность противоположного события.
Решение:
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Поэтому вероятность противоположного события равна:
1 − 0,37 = 0,63.
Ответ: 0,63.
№ 11
Условие:
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции:
А) y = −1/2 x²
Б) y = √x
В) y = −6/x
Графики: 1), 2), 3).
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение:
А) y = −1/2 x² — парабола с ветвями, направленными вниз. Это график 3.
Б) y = √x — график начинается в начале координат, расположен в первой четверти и возрастает. Это график 2.
В) y = −6/x — гипербола, ветви которой расположены во второй и четвёртой четвертях. Это график 1.
Получаем последовательность 321.
Ответ: 321.
№ 12
Условие:
Теорему синусов можно записать в виде a/sin α = b/sin β, где a и b — две стороны треугольника, а α и β — углы треугольника, лежащие против них соответственно. Пользуясь этой формулой, найдите величину sin α, если a = 6, b = 5, sin β = 0,2.
Решение:
Подставим известные значения:
6 / sin α = 5 / 0,2.
Вычислим правую часть:
5 : 0,2 = 25.
Получаем:
6 / sin α = 25.
Отсюда:
sin α = 6 : 25 = 0,24.
Ответ: 0,24.
№ 13
Условие:
Укажите решение системы неравенств
−21 + 7x > 0,
9 − 2x > −5.
Решение:
Решим первое неравенство:
−21 + 7x > 0.
7x > 21.
x > 3.
Решим второе неравенство:
9 − 2x > −5.
−2x > −14.
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
x < 7.
Объединим решения. Число x должно быть больше 3 и одновременно меньше 7.
Получаем промежуток (3;7).
На рисунке этому промежутку соответствует вариант 2.
Ответ: 2.
№ 14
Условие:
Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 4,8 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик первый раз не достигнет высоты 15 см?
Решение:
Переведём 15 см в метры:
15 см = 0,15 м.
Высота каждого следующего прыжка в три раза меньше предыдущей.
Первый прыжок: 4,8 м.
Второй прыжок: 4,8 : 3 = 1,6 м.
Третий прыжок: 1,6 : 3 ≈ 0,533 м.
Четвёртый прыжок: 0,533 : 3 ≈ 0,178 м.
Пятый прыжок: 0,178 : 3 ≈ 0,059 м.
Четвёртый прыжок ещё выше 0,15 м, а пятый уже ниже.
Ответ: 5.
№ 15
Условие:
В треугольнике ABC известно, что AC = 28, BM = 18, BM — медиана. Найдите AM.
Решение:
Медиана треугольника делит противоположную сторону пополам.
Поэтому AM = MC.
Так как AC = 28, получаем:
AM = 28 : 2 = 14.
Длина медианы BM для решения не требуется.
Ответ: 14.
№ 16
Условие:
В треугольнике ABC известно, что AC = 20, BC = 15, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение:
Треугольник прямоугольный, поэтому найдём гипотенузу AB по теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC².
AB² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625.
AB = 25.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
Следовательно:
R = 25 : 2 = 12,5.
Ответ: 12,5.
№ 17
Условие:
Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 4 и 9.
Решение:
В равнобедренной трапеции разность оснований распределяется поровну между двумя боковыми сторонами.
Разность оснований:
9 − 4 = 5.
Горизонтальный отрезок от левой вершины большего основания до правой вершины меньшего основания равен половине суммы оснований:
(9 + 4) : 2 = 6,5.
Диагональ образует с основанием угол 45°. Получается прямоугольный треугольник, в котором один острый угол равен 45°.
В прямоугольном треугольнике с углом 45° катеты равны.
Следовательно, высота трапеции равна 6,5.
Ответ: 6,5.
№ 18
Условие:
На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение:
Площадь круга зависит от квадрата его радиуса.
Чтобы найти отношение площадей, нужно отношение радиусов возвести в квадрат.
По размерам кругов на рисунке получаем, что площадь большего круга в 2,5 раза больше площади меньшего.
Ответ: 2,5.
№ 19
Условие:
Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
- Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
Утверждение 1. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Это свойство ромба. Утверждение верно.
Утверждение 2. Проверим неравенство треугольника. Сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей стороны.
1 + 2 = 3, а 3 меньше 4. Такой треугольник не существует. Утверждение неверно.
Утверждение 3. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Утверждение верно.
Верны утверждения 1 и 3.
Ответ: 13.
