Вариант 13
№ 1
Условие: Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты.
Решение:
- Деревня Крынки — 2.
- Село Игнатово — 1.
- Деревня Починки — 4.
Записываем цифры в порядке, указанном в таблице: Крынки, Игнатово, Починки.
Ответ: 214.
№ 2. Расстояние от Почки́нок до Игнатово по прямой
Условие: Найдите расстояние от деревни Почки́нки до села Игнатово по прямой. Ответ дайте в километрах.
Решение.
По клеткам плана горизонтальное расстояние между Почки́нками и Игнатово составляет 30 км, а вертикальное — 16 км.
Дороги образуют прямоугольный треугольник. Прямая дорога является его гипотенузой.
По теореме Пифагора квадрат искомого расстояния равен сумме квадратов катетов:
30 · 30 + 16 · 16 = 900 + 256 = 1156.
Корень из 1156 равен 34.
Ответ: 34.
№ 3. Время поездки через Крынки
Условие: Сколько минут затратят на дорогу из деревни Почки́нки в село Игнатово Миша с папой, если поедут через деревню Крынки?
Решение.
По плану расстояние от Почки́нок до Крынок равно 16 км, а от Крынок до Игнатово — 30 км.
Общая длина пути:
16 + 30 = 46 км.
По шоссе велосипедисты едут со скоростью 20 км/ч.
Время в пути:
46 : 20 = 2,3 часа.
Переведём часы в минуты:
2,3 · 60 = 138 минут.
Ответ: 138.
№ 4
Условие: На сколько процентов расстояние от села Игнатово до деревни Власово через деревню Крынки больше расстояния между этими пунктами по прямой?
Решение:
По плану расстояние от Игнатово до Крынок равно 16 км, а от Крынок до Власово — 12 км.
Расстояние через Крынки:
16 + 12 = 28 км.
Найдём расстояние от Игнатово до Власово по прямой. Дороги образуют прямоугольный треугольник с катетами 16 км и 12 км.
По теореме Пифагора:
16 · 16 + 12 · 12 = 256 + 144 = 400.
√400 = 20 км.
Найдём, на сколько километров путь через Крынки длиннее прямого:
28 − 20 = 8 км.
Определим, сколько процентов составляет эта разница от прямого расстояния:
8 : 20 · 100 = 40%.
Ответ: 40.
№ 5. Покупка продуктов
Условие: Миша с папой хотят купить 2 л молока, 2 кг говядины и 4 кг картофеля. В каком магазине такой набор продуктов будет стоить дешевле всего?
Решение.
Считаем стоимость набора в каждом магазине.
Деревня Почки́нки:
Молоко: 85 · 2 = 170 рублей.
Говядина: 730 · 2 = 1460 рублей.
Картофель: 85 · 4 = 340 рублей.
Общая стоимость: 170 + 1460 + 340 = 1970 рублей.
Село Игнатово:
Молоко: 80 · 2 = 160 рублей.
Говядина: 750 · 2 = 1500 рублей.
Картофель: 80 · 4 = 320 рублей.
Общая стоимость: 160 + 1500 + 320 = 1980 рублей.
Деревня Крынки:
Молоко: 90 · 2 = 180 рублей.
Говядина: 700 · 2 = 1400 рублей.
Картофель: 90 · 4 = 360 рублей.
Общая стоимость: 180 + 1400 + 360 = 1940 рублей.
Деревня Власово:
Молоко: 105 · 2 = 210 рублей.
Говядина: 790 · 2 = 1580 рублей.
Картофель: 75 · 4 = 300 рублей.
Общая стоимость: 210 + 1580 + 300 = 2090 рублей.
Самый дешёвый набор получается в Крынках — 1940 рублей.
Ответ: 1940.
№ 6. Значение выражения
Условие: Найдите значение выражения 6,9 − 11,3.
Решение.
Из меньшего числа вычитаем большее, поэтому результат будет отрицательным.
11,3 − 6,9 = 4,4.
Следовательно, 6,9 − 11,3 = −4,4.
Ответ: −4,4.
№ 7. Число из отрезка [4; 5]
Условие: Какое из чисел 65/18, 71/18, 79/18 и 95/18 принадлежит отрезку [4; 5]?
Решение.
Чтобы дробь принадлежала отрезку от 4 до 5, она должна быть не меньше 4 и не больше 5.
Умножим границы отрезка на 18:
4 · 18 = 72.
5 · 18 = 90.
Значит, числитель дроби должен быть от 72 до 90 включительно.
Проверяем варианты:
- 65 меньше 72;
- 71 меньше 72;
- 79 находится между 72 и 90;
- 95 больше 90.
Подходит дробь 79/18. Она указана под номером 3.
Ответ: 3.
№ 8. Степени и корни
Условие: Найдите значение выражения (b¹³ · (c⁸)²) / (b · c)¹⁵ при c = 6 и b = √5.
Решение.
Сначала упростим выражение.
При возведении степени в степень показатели перемножаются: (c⁸)² = c¹⁶.
В знаменателе при возведении произведения в степень получаем b¹⁵ · c¹⁵.
Сокращаем степени с одинаковыми основаниями:
b¹³ / b¹⁵ = 1 / b²;
c¹⁶ / c¹⁵ = c.
Получается c / b².
Подставляем значения: c = 6, b = √5.
Квадрат корня из 5 равен 5.
Поэтому 6 : 5 = 1,2.
Ответ: 1,2.
№ 9. Решение уравнения
Условие: Найдите корень уравнения 6 + 2(5 − x) = 3x − 5.
Решение.
Раскрываем скобки:
6 + 10 − 2x = 3x − 5.
Складываем числа слева:
16 − 2x = 3x − 5.
Переносим неизвестные в правую часть, а числа — в левую:
16 + 5 = 3x + 2x.
Получаем:
21 = 5x.
Делим обе части на 5:
x = 21 : 5 = 4,2.
Ответ: 4,2.
№ 10. Вероятность противоположного события
Условие: Событие B имеет вероятность 0,68. Найдите вероятность противоположного события.
Решение.
Сумма вероятностей события и противоположного ему события равна 1.
Поэтому из 1 вычитаем вероятность события B:
1 − 0,68 = 0,32.
Ответ: 0,32.
№ 11. Соответствие графиков и формул
Условие: Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Решение.
График А начинается в начале координат, определён при неотрицательных значениях x и возрастает с уменьшающимся наклоном. Это график функции y = √x. Ей соответствует формула 1.
График Б — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится ниже оси x. Это функция y = x² − 4. Ей соответствует формула 3.
График В имеет две ветви, расположенные во второй и четвёртой четвертях. Это функция y = −1/x. Ей соответствует формула 2.
Ответ: 132.
№ 12. Теорема синусов
Условие: Найдите сторону a, если b = 24, sin α = 0,3 и sin β = 0,5.
Решение.
По теореме синусов отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон.
Следовательно, a / sin α = b / sin β.
Выражаем сторону a:
a = b · sin α / sin β.
Подставляем значения:
a = 24 · 0,3 / 0,5.
Сначала 24 · 0,3 = 7,2.
Затем 7,2 : 0,5 = 14,4.
Ответ: 14,4.
№ 13. Система неравенств
Условие: Укажите решение системы неравенств:
−20 + 5x > 0;
10 − 2x < −8.
Решение.
Решаем первое неравенство:
−20 + 5x > 0.
Переносим −20 вправо:
5x > 20.
Делим на 5:
x > 4.
Решаем второе неравенство:
10 − 2x < −8.
Переносим 10 вправо:
−2x < −18.
Делим на −2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
x > 9.
Теперь пересекаем два решения. Числа должны одновременно быть больше 4 и больше 9. Это означает, что x > 9.
На числовой прямой нужно поставить пустую точку в 9 и заштриховать луч вправо.
Этому соответствует рисунок под номером 3.
Ответ: 3.
№ 14. Прыжки мячика
Условие: Каким по счёту прыжком мячик первый раз не достигнет высоты 15 см?
Решение.
При каждом прыжке высота уменьшается в два раза.
Первый прыжок: 3,6 м = 360 см.
Второй прыжок: 360 : 2 = 180 см.
Третий прыжок: 180 : 2 = 90 см.
Четвёртый прыжок: 90 : 2 = 45 см.
Пятый прыжок: 45 : 2 = 22,5 см.
Шестой прыжок: 22,5 : 2 = 11,25 см.
На пятом прыжке высота ещё больше 15 см, а на шестом уже меньше 15 см.
Ответ: 6.
№ 15. Медиана треугольника
Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = 24, BM = 10, BM — медиана. Найдите AM.
Решение.
Медиана треугольника соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
Следовательно, точка M — середина стороны AC.
Поэтому AM равно половине AC:
24 : 2 = 12.
Ответ: 12.
№ 16. Радиус описанной окружности
Условие: В треугольнике ABC известно, что AC = 12, BC = 35, угол C равен 90°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
Треугольник прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора находим гипотенузу AB.
Квадрат AB равен 12 · 12 + 35 · 35.
Получаем 144 + 1225 = 1369.
Корень из 1369 равен 37.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы. Поэтому радиус равен половине гипотенузы.
37 : 2 = 18,5.
Ответ: 18,5.
№ 17. Высота равнобедренной трапеции
Условие: Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если её основания равны 3 и 4.
Решение.
В равнобедренной трапеции разность оснований распределяется поровну между двумя боковыми выступами.
Разность оснований:
4 − 3 = 1.
Каждый выступ равен половине разности:
1 : 2 = 0,5.
Горизонтальная проекция диагонали равна большему основанию за вычетом выступа:
4 − 0,5 = 3,5.
Диагональ, высота и её горизонтальная проекция образуют прямоугольный треугольник.
Один из острых углов равен 45°. В прямоугольном треугольнике с углами 45°, 45° и 90° катеты равны.
Следовательно, высота трапеции равна горизонтальной проекции диагонали.
Ответ: 3,5.
№ 18. Отношение площадей кругов
Условие: Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?
Решение.
Площадь круга зависит от квадрата радиуса. Поэтому отношение площадей равно отношению квадратов радиусов.
По клеткам рисунка радиус большого круга равен 5 клеткам, а малого — 2 клеткам.
Отношение площадей:
5 · 5 : (2 · 2) = 25 : 4 = 6,25.
Ответ: 6,25.
№ 19. Истинные геометрические утверждения
Условие: Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?
- В любом ромбе все углы равны.
- Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Решение.
Утверждение 1 — неверно. В ромбе равны противоположные углы, но не обязательно все четыре. Все углы равны только у квадрата.
Утверждение 2 — верно. По свойству параллельных прямых через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной.
Утверждение 3 — верно. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны по двум углам.
Следовательно, верны утверждения 2 и 3.
Ответ: 23
