Вариант 16
Часть 1
№ 1
Условие:
В таблице даны размеры (с точностью до мм) четырёх листов, имеющих форматы A1, A2, A4 и A6.
| Номер листа | Длина (мм) | Ширина (мм) |
| 1 | 148 | 105 |
| 2 | 594 | 420 |
| 3 | 297 | 210 |
| 4 | 841 | 594 |
Установите соответствие между форматами и номерами листов. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность четырёх цифр, соответствующих номерам листов, без пробелов, запятых и дополнительных символов.
Решение:
Формат A6 — самый маленький из перечисленных. Его размеры — 148 × 105 мм. Это лист № 1.
Формат A4 имеет размеры 297 × 210 мм. Это лист № 3.
Формат A2 имеет размеры 594 × 420 мм. Это лист № 2.
Формат A1 имеет размеры 841 × 594 мм. Это лист № 4.
Записываем номера в порядке форматов A6, A4, A2, A1: 1, 3, 2, 4.
Ответ: 1324.
№ 2
Условие:
Сколько листов формата А7 получится из одного листа формата А4?
Решение:
При каждом переходе к следующему формату лист делится пополам.
Из одного листа A4 получаются два листа A5.
Из двух листов A5 получаются четыре листа A6.
Из четырёх листов A6 получаются восемь листов A7.
Ответ: 8.
№ 3
Условие:
Найдите площадь листа формата А5. Ответ дайте в квадратных сантиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 10.
Решение:
Площадь листа A0 равна 1 квадратному метру, то есть 10 000 квадратных сантиметров.
Каждый следующий формат получается делением предыдущего листа пополам.
От A0 до A5 выполняется пять делений пополам. Поэтому площадь листа A5 равна 10 000 : 2 : 2 : 2 : 2 : 2 = 312,5 квадратного сантиметра.
Округляем 312,5 до ближайшего числа, кратного 10. Получаем 310.
Ответ: 310.
№ 4
Условие:
Найдите ширину листа бумаги формата А7. Ответ дайте в миллиметрах и округлите до ближайшего целого числа, кратного 5.
Решение:
Размеры листа A4 составляют 297 × 210 мм.
При переходе к следующему формату лист делится пополам параллельно меньшей стороне. Поэтому меньшая сторона нового листа равна половине большей стороны предыдущего листа.
Из A4 получаем A5, затем A6 и A7.
Размеры A5 приблизительно равны 210 × 148,5 мм.
Размеры A6 приблизительно равны 148,5 × 105 мм.
Размеры A7 приблизительно равны 105 × 74,25 мм.
Ширина листа A7 составляет приблизительно 74,25 мм.
Округляем до ближайшего числа, кратного 5. Получаем 75 мм.
Ответ: 75.
№ 5
Условие:
Бумагу формата А6 упаковали в пачки по 350 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площадью 1 кв. м равна 96 г. Ответ дайте в граммах.
Решение:
Площадь листа A0 равна 1 квадратному метру.
Лист A6 получается после шести последовательных делений листа пополам. Поэтому площадь листа A6 равна 1 : 64 = 0,015625 квадратного метра.
Масса одного листа равна 0,015625 · 96 = 1,5 г.
В пачке 350 листов. Значит, масса пачки равна 350 · 1,5 = 525 г.
Ответ: 525.
№ 6
Условие:
Найдите значение выражения 2,8 / (1/3 − 1).
Решение:
Сначала вычислим знаменатель: одна треть минус единица равна одной трети минус три третьих, то есть минус две трети.
Теперь разделим 2,8 на минус две трети. Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь: 2,8 · (−3/2) = −4,2.
Ответ: −4,2.
№ 7
Условие:
На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам −0,132; −0,077, 0,202; −0,303.
Какой точке соответствует число −0,132?
- A
- B
- C
- D
Решение:
На координатной прямой числа увеличиваются слева направо.
Расположим числа по возрастанию: −0,303; −0,132; −0,077; 0,202.
Значит, точке A соответствует число −0,303, точке B — число −0,132, точке C — число −0,077, точке D — число 0,202.
Числу −0,132 соответствует точка B. В списке ответов это вариант 2.
Ответ: 2.
№ 8
Условие:
Найдите значение выражения (√112 + √7) · √7.
Решение:
Упростим корень из 112: √112 = √(16 · 7) = 4√7.
Подставим полученное выражение: (4√7 + √7) · √7.
Сложим подобные слагаемые: 5√7 · √7.
Поскольку √7 · √7 = 7, получаем 5 · 7 = 35.
Ответ: 35.
№ 9
Условие:
Решите уравнение 25 − x² = 0.
Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение:
Перенесём квадрат неизвестного в правую часть. Получим x² = 25.
Число, квадрат которого равен 25, может быть равным 5 или −5.
Корни уравнения: −5 и 5.
Меньший корень равен −5.
Ответ: −5.
№ 10
Условие:
В девятом классе учатся 14 мальчиков и 11 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет мальчик?
Решение:
Всего в классе 14 + 11 = 25 учеников.
Благоприятных исходов 14, поскольку дежурным должен стать один из 14 мальчиков.
Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов: 14 : 25 = 0,56.
Ответ: 0,56.
№ 11
Условие:
Установите соответствие между функциями и их графиками.
ФУНКЦИИ
А) y = 3/x
Б) y = −3/x
В) y = −1/(3x)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение:
График функции вида y = k/x при положительном коэффициенте k расположен в первой и третьей координатных четвертях. При отрицательном коэффициенте график расположен во второй и четвёртой четвертях.
Функция А: y = 3/x. Коэффициент положительный, поэтому подходит график № 2.
Функция Б: y = −3/x. Коэффициент отрицательный, а по модулю равен 3. Ветви графика расположены дальше от осей, чем у функции с коэффициентом −1/3. Подходит график № 1.
Функция В: y = −1/(3x). Коэффициент отрицательный и по модулю меньше 1. Подходит график № 3.
Получаем последовательность: 2, 1, 3.
Ответ: 213.
№ 12
Условие:
Кинетическая энергия тела E (в джоулях) вычисляется по формуле E = mv²/2, где m — масса тела (в килограммах), а v — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите скорость автомобиля массой 800 кг, если известно, что его кинетическая энергия равна 810 тысяч джоулей. Ответ дайте в метрах в секунду.
Решение:
Масса автомобиля равна 800 кг, кинетическая энергия — 810 000 Дж.
Подставим значения в формулу кинетической энергии: 810 000 = 800v²/2.
Разделим 800 на 2. Получим 400. Тогда 810 000 = 400v².
Разделим обе части равенства на 400: v² = 2025.
Извлечём квадратный корень: скорость равна 45 м/с. Отрицательное значение не подходит, поскольку скорость здесь рассматривается как величина.
Ответ: 45.
№ 13
Условие:
Укажите решение неравенства 9 − 5x < 7x + 15.
- (−∞; −0,5)
- (3; +∞)
- (−0,5; +∞)
- (−∞; 3)
Решение:
Перенесём слагаемые с неизвестным в левую часть, а числа — в правую часть.
Получим −5x − 7x < 15 − 9.
Сложим подобные слагаемые: −12x < 6.
Разделим обе части неравенства на −12. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Получаем x > −0,5.
Значит, решением является промежуток от −0,5 до плюс бесконечности, не включая −0,5. Это вариант 3.
Ответ: 3.
№ 14
Условие:
На высоте 2205 м над уровнем моря атмосферное давление составляет 550 мм рт. ст. Считая, что при подъёме на каждые 10,5 м давление уменьшается примерно на 1 мм рт. ст., определите атмосферное давление на высоте 1785 м над уровнем моря.
Решение:
Разность высот составляет 2205 − 1785 = 420 м.
При спуске давление увеличивается. На каждые 10,5 м оно увеличивается примерно на 1 мм рт. ст.
Найдём, на сколько миллиметров ртутного столба увеличится давление: 420 : 10,5 = 40 мм рт. ст.
На высоте 1785 м давление будет равно 550 + 40 = 590 мм рт. ст.
Ответ: 590.
№ 15
Условие:
В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 50, AC = 30. Найдите CM.
Решение:
Треугольник ABC прямоугольный, поскольку угол C равен 90°. Сторона AB является гипотенузой.
По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин. Поэтому CM равен половине AB.
CM = 50 : 2 = 25.
Ответ: 25.
№ 16
Условие:
На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 132°. Длина меньшей дуги AB равна 22. Найдите длину большей дуги AB.
Решение:
Полный угол вокруг центра окружности равен 360°.
Угол, соответствующий большей дуге AB, равен 360° − 132° = 228°.
Длина дуги пропорциональна величине соответствующего центрального угла.
Меньшей дуге соответствует угол 132°, а её длина равна 22. Поэтому длина большей дуги равна 22 · 228 : 132.
Выполним вычисление: 22 · 228 : 132 = 38.
Ответ: 38.
№ 17
Условие:
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию.
Основание состоит из двух отрезков длиной 6 и 9. Поэтому длина основания равна 6 + 9 = 15.
Боковая сторона параллелограмма равна 10. Высота, основание которой образует с основанием параллелограмма прямой угол, вместе с отрезком длиной 6 и боковой стороной длиной 10 образует прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора высота равна квадратному корню из разности 10² и 6². Это квадратный корень из 100 − 36, то есть из 64. Следовательно, высота равна 8.
Площадь параллелограмма равна 15 · 8 = 120.
Ответ: 120.
№ 18
Условие:
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена фигура. Найдите длину отрезка AB по данным чертежа.
Решение:
По рисунку видно, что отрезок AB расположен горизонтально.
Его концы находятся на вертикальных линиях сетки. Между этими линиями три клетки.
Длина одной клетки равна 1. Поэтому длина отрезка AB равна 3 · 1 = 3.
Ответ: 3.
№ 19
Условие:
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.
- Если в ромбе один из углов равен 90 градусам, то этот ромб является квадратом.
- Две окружности всегда пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Решение:
Первое утверждение неверно. Сумма углов любого треугольника равна 180°, в том числе прямоугольного.
Второе утверждение верно. Если один угол ромба равен 90°, то все его углы прямые. Такой ромб является прямоугольником. Поскольку все стороны ромба равны, он одновременно является квадратом.
Третье утверждение неверно. Окружности могут не пересекаться даже в том случае, если радиусы у них разные.
Верным является только второе утверждение.
Ответ: 2.
Часть 2.
№ 20
Условие:
Решите систему уравнений
x² + y² = 68,
xy = −16.
Решение:
Из второго уравнения следует, что произведение x и y равно −16. Значит, числа имеют разные знаки.
Сложим удвоенное второе уравнение с первым. Получим:
x² + 2xy + y² = 68 − 32 = 36.
Левая часть представляет собой квадрат суммы. Поэтому квадрат суммы x и y равен 36. Следовательно, сумма x и y может быть равна 6 или −6.
Первый случай: x + y = 6.
Вычтем из первого уравнения системы удвоенное второе уравнение:
x² − 2xy + y² = 68 + 32 = 100.
Значит, квадрат разности x и y равен 100. Следовательно, разность может быть равна 10 или −10.
Рассмотрим систему x + y = 6 и x − y = 10.
Сложим уравнения: 2x = 16, откуда x = 8. Тогда y = 6 − 8 = −2.
Получаем пару (8; −2).
Теперь рассмотрим систему x + y = 6 и x − y = −10.
Сложим уравнения: 2x = −4, откуда x = −2. Тогда y = 6 − (−2) = 8.
Получаем пару (−2; 8).
Второй случай: x + y = −6.
Рассмотрим систему x + y = −6 и x − y = 10.
Сложим уравнения: 2x = 4, откуда x = 2. Тогда y = −6 − 2 = −8.
Получаем пару (2; −8).
Рассмотрим систему x + y = −6 и x − y = −10.
Сложим уравнения: 2x = −16, откуда x = −8. Тогда y = −6 − (−8) = 2.
Получаем пару (−8; 2).
Все четыре пары удовлетворяют исходной системе.
Ответ: (2; −8); (−2; 8); (8; −2); (−8; 2).
№ 21
Условие:
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.
Решение:
Пусть x км/ч — скорость течения реки.
Скорость теплохода по течению равна 22 + x км/ч.
Скорость теплохода против течения равна 22 − x км/ч.
Время движения по течению равно расстоянию, делённому на скорость: 240 / (22 + x) часов.
Время движения против течения равно 240 / (22 − x) часов.
ОДЗ: знаменатели не должны равняться нулю.
22 + x ≠ 0, откуда x ≠ −22.
22 − x ≠ 0, откуда x ≠ 22.
Кроме того, скорость течения положительна и меньше скорости теплохода в неподвижной воде: 0 < x < 22.
Составим уравнение.
Весь путь занял 32 часа, из которых 10 часов теплоход стоял. Значит, на движение ушло 32 − 10 = 22 часа.
Сумма времени движения по течению и против течения равна 22 часам:
240 / (22 + x) + 240 / (22 − x) = 22.
Приведём дроби к общему знаменателю:
240(22 − x) + 240(22 + x) = 22(22 + x)(22 − x).
Раскроем скобки в левой части:
5280 − 240x + 5280 + 240x = 22(484 − x²).
Сложим подобные слагаемые:
10560 = 22(484 − x²).
Разделим обе части на 22:
480 = 484 − x².
Отсюда x² = 4.
Получаем два значения: x = 2 и x = −2.
По ОДЗ скорость течения должна быть положительной, поэтому подходит только x = 2.
Ответ: 2 км/ч.
