Вариант 11
№ 1
Условие: Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин.
Шины какой наибольшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 16 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.
Решение:
В столбце для диска диаметром 16 дюймов разрешены шины шириной 205 мм и 215 мм. Шины шириной 225 мм для этого диска не предусмотрены.
Наибольшая допустимая ширина — 215 мм.
Ответ: 215.
№ 2
Условие: Сколько миллиметров составляет высота боковины шины, имеющей маркировку 225/40 R18?
Решение:
Высота боковины составляет 40% от ширины шины.
225 · 0,4 = 90 мм.
Ответ: 90.
№ 3
Условие: Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.
Решение:
Маркировка заводских шин — 215/50 R17.
Высота одной боковины:
215 · 0,5 = 107,5 мм.
Диаметр диска:
17 · 25,4 = 431,8 мм.
Диаметр всего колеса:
431,8 + 2 · 107,5 = 646,8 мм.
Ответ: 646,8.
№ 4
Условие: На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 205/60 R16?
Решение:
Диаметр заводского колеса из задания № 3 равен 646,8 мм.
Для шины 205/60 R16 высота боковины:
205 · 0,6 = 123 мм.
Диаметр диска:
16 · 25,4 = 406,4 мм.
Диаметр нового колеса:
406,4 + 2 · 123 = 652,4 мм.
Увеличение диаметра:
652,4 − 646,8 = 5,6 мм.
Ответ: 5,6.
№ 5
Условие: На сколько процентов уменьшится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 225/40 R18? Результат округлите до десятых.
Решение:
Диаметр заводского колеса — 646,8 мм.
Для шины 225/40 R18 высота боковины:
225 · 0,4 = 90 мм.
Диаметр диска:
18 · 25,4 = 457,2 мм.
Диаметр нового колеса:
457,2 + 2 · 90 = 637,2 мм.
Пробег за один оборот пропорционален диаметру колеса. Поэтому процент уменьшения:
(646,8 − 637,2) / 646,8 · 100% ≈ 1,5%.
Ответ: 1,5.
№ 6
Условие: Найдите значение выражения (7/15 − 9/10) · 6.
Решение:
Приведём дроби к общему знаменателю:
7/15 − 9/10 = 14/30 − 27/30 = −13/30.
Умножим на 6:
−13/30 · 6 = −78/30 = −2,6.
Ответ: −2,6.
№ 7
Условие: На координатной прямой точки A, B, C и D соответствуют числам √0,05, −√0,05, √0,7, −√0,4.
Какому числу соответствует точка B?
- √0,05
- −√0,05
- √0,7
- −√0,4
Решение:
Приблизительно вычислим значения:
√0,05 ≈ 0,224;
−√0,05 ≈ −0,224;
√0,7 ≈ 0,837;
−√0,4 ≈ −0,632.
На координатной прямой числа располагаются слева направо по возрастанию. Точка B находится второй слева, ей соответствует число −√0,05.
Ответ: 2.
№ 8
Условие: Найдите значение выражения √(16 · 5⁴).
Решение:
√(16 · 5⁴) = √16 · √(5⁴) = 4 · 25 = 100.
Ответ: 100.
№ 9
Условие: Решите уравнение x² − 9 = 5x + 5. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Решение:
Перенесём все слагаемые в левую часть:
x² − 5x − 14 = 0.
Разложим на множители:
(x − 7)(x + 2) = 0.
Отсюда:
x − 7 = 0 или x + 2 = 0;
x = 7 или x = −2.
Больший корень — 7.
Ответ: 7.
№ 10
Условие: В среднем из каждых 120 поступивших в продажу аккумуляторов 114 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что случайно выбранный в магазине аккумулятор не заряжен.
Решение:
Количество незаряженных аккумуляторов:
120 − 114 = 6.
Вероятность выбрать незаряженный аккумулятор:
6/120 = 0,05.
Ответ: 0,05.
№ 11
Условие: Установите соответствие между функциями и их графиками.
А) y = −3x + 3
Б) y = 3x
В) y = 3x − 3
Графики: 1), 2), 3).
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Решение:
А) y = −3x + 3 — прямая убывает, пересекает ось y в точке 3. Это график 2.
Б) y = 3x — прямая возрастает и проходит через начало координат. Это график 1.
В) y = 3x − 3 — прямая возрастает и пересекает ось y в точке −3. Это график 3.
Получаем последовательность 213.
Ответ: 213.
№ 12
Условие: Архимедова сила F (в Н), действующая на погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Найдите архимедову силу, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,05 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение:
Подставим значения в формулу:
F = 1000 · 9,8 · 0,05.
F = 9800 · 0,05 = 490 Н.
Ответ: 490.
№ 13
Условие: Укажите решение неравенства (x + 8)(x − 5) > 0.
- (−8; +∞)
- (5; +∞)
- (−8; 5)
- (−∞; −8) ∪ (5; +∞)
Решение:
Найдём нули множителей:
x + 8 = 0 → x = −8;
x − 5 = 0 → x = 5.
Методом интервалов определяем, где произведение положительно: при x < −8 и при x > 5.
Решение: (−∞; −8) ∪ (5; +∞).
Это вариант 4.
Ответ: 4.
№ 14
Условие: Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 21 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 5 секунд торможения?
Решение:
За каждую секунду расстояние уменьшается на 3 м.
За первую секунду — 21 м.
За вторую: 21 − 3 = 18 м.
За третью: 18 − 3 = 15 м.
За четвёртую: 15 − 3 = 12 м.
За пятую: 12 − 3 = 9 м.
Общий путь:
21 + 18 + 15 + 12 + 9 = 75 м.
Ответ: 75.
№ 15
Условие: Сторона треугольника равна 17, а высота, проведённая к этой стороне, равна 14. Найдите площадь этого треугольника.
Решение:
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:
S = 1/2 · 17 · 14 = 119.
Ответ: 119.
№ 16
Условие: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 94°, угол CAD равен 57°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Вписанные углы, опирающиеся на одну хорду, равны.
Угол CAD и угол CBD опираются на хорду CD, поэтому:
∠CBD = ∠CAD = 57°.
Угол ABC состоит из углов ABD и DBC:
∠ABD = ∠ABC − ∠CBD.
∠ABD = 94° − 57° = 37°.
Ответ: 37.
№ 17
Условие: Диагональ прямоугольника образует угол 68° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Соседние стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому угол между диагональю и другой стороной равен:
90° − 68° = 22°.
Острый угол между диагоналями равен удвоенному этому углу:
22° · 2 = 44°.
Ответ: 44.
№ 18
Условие: На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.
Решение:
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
По рисунку горизонтальная диагональ равна 6 клеткам, вертикальная — 2 клеткам.
S = 6 · 2 / 2 = 6.
Ответ: 6.
№ 19
Условие: Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
- Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого треугольника, то такие треугольники всегда равны.
- Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны.
- Угол, вписанный в окружность, всегда равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Решение:
- Неверно: равенство углов гарантирует подобие треугольников, но не обязательно их равенство.
- Верно: квадрат является прямоугольником, а его диагонали взаимно перпендикулярны.
- Неверно: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Истинно утверждение 2.
Ответ: 2.
№ 20
Решите уравнение:
2x² − 3x + √(2 − x) = √(2 − x) + 14.
Решение:
Область допустимых значений: 2 − x ≥ 0, поэтому x ≤ 2.
Сократим одинаковые слагаемые √(2 − x) в обеих частях:
2x² − 3x = 14.
Перенесём всё в левую часть:
2x² − 3x − 14 = 0.
D = (−3)² − 4 · 2 · (−14) = 9 + 112 = 121.
x = (3 ± 11) / 4.
x₁ = 14/4 = 3,5; x₂ = −8/4 = −2.
Корень 3,5 не подходит, так как x ≤ 2.
Ответ: −2.
№ 21
Автомобиль выехал с постоянной скоростью из города А в город Б, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч, в результате чего затратил на обратный путь на 24 минуты меньше. Найдите скорость автомобиля на пути из А в Б.
Пусть x км/ч — скорость автомобиля на пути из А в Б. Тогда скорость на обратном пути равна x + 5 км/ч.
| Путь | Расстояние | Скорость | Время |
| Из А в Б | 180 км | x км/ч | 180/x ч |
| Из Б в А | 180 км | (x + 5) км/ч | 180/(x + 5) ч |
Обратный путь занял на 24 минуты меньше:
24 минуты = 24/60 = 0,4 часа.
Составим уравнение:
180/x − 180/(x + 5) = 0,4.
Умножим обе части на x(x + 5) не равное 0 :
180(x + 5) − 180x = 0,4x(x + 5).
900 = 0,4x² + 2x.
Умножим на 10:
9000 = 4x² + 20x.
Разделим на 4:
x² + 5x − 2250 = 0.
D = 25 + 9000 = 9025 = 95².
x = (−5 ± 95) / 2.
x₁ = 45; x₂ = −50.
Отрицательная скорость не подходит.
Ответ: 45 км/ч.
